[Machine Learning] K-means算法詳解：原理、優缺點、程式碼實現、變體及實際應用

K-means 算法是一種非常流行的無監督學習方法，主要應用於聚類問題。本篇部落格將詳細介紹 K-means 算法的原理、優缺點及實際應用場景。

算法原理#

K-means 算法的核心思想是將資料劃分為 K 個獨立的簇 (cluster)，使得每個簇內的資料點距離盡可能小，而簇與簇之間的距離盡可能大。下面是 K-means 算法的具體步驟：

初始化：選擇 K 個資料點作為初始質心（centroid），這些質心可以是隨機選擇的，也可以是通過其他方法選定的。
分配：將每個資料點分配到離它最近的質心所代表的簇中。
更新：重新計算每個簇的質心，方法是將簇內所有資料點的均值作為新的質心。
重複步驟 2 和 3，直到質心不再發生顯著變化或達到迭代次數上限。

優點#

K-means 算法具有以下優點：

簡單易懂：K-means 算法的步驟簡單，容易理解和實現。
計算效率高：K-means 算法的時間複雜度相對較低，適用於大規模資料集。
可擴展性強：K-means 算法可以通過各種改進和優化應用於不同類型的資料和問題。

缺點#

K-means 算法也存在一些局限性：

需要預先指定 K 值：在實際應用中，選定合適的 K 值可能需要嘗試多種方法。
對初始質心敏感：算法的結果可能受到初始質心選擇的影響，導致局部最優解。
對噪音和離群點敏感：K-means 算法容易受到噪音和離群點的影響，可能導致簇劃分不準確。
對簇形狀和大小敏感：K-means 算法假設簇是凸的和大小相似的，對於其他形狀和大小的簇可能效果不佳。

程式碼實現#

下面是使用 Python 和 NumPy 實現 K-means 算法的簡單示例：

import numpy as np

def initialize_centroids(data, k):
    # 從資料集中隨機選擇k個點作為初始質心
    centroids = data[np.random.choice(data.shape[0], k, replace=False)]
    return centroids

def assign_clusters(data, centroids):
    # 計算資料點與質心之間的距離，並將資料點分配給最近的質心
    distances = np.linalg.norm(data[:, np.newaxis] - centroids, axis=2)
    cluster_labels = np.argmin(distances, axis=1)
    return cluster_labels

def update_centroids(data, cluster_labels, k):
    # 計算每個簇的新質心，即簇內資料點的均值
    new_centroids = np.array([data[cluster_labels == i].mean(axis=0) for i in range(k)])
    return new_centroids

def kmeans(data, k, max_iterations=100, tol=1e-4):
    # 初始化質心
    centroids = initialize_centroids(data, k)
    
    for _ in range(max_iterations):
        # 分配簇
        cluster_labels = assign_clusters(data, centroids)
        
        # 更新質心
        new_centroids = update_centroids(data, cluster_labels, k)
        
        # 檢查收斂條件
        if np.linalg.norm(new_centroids - centroids) < tol:
            break
        
        centroids = new_centroids
    
    return centroids, cluster_labels

# 示例：使用K-means算法對隨機生成的資料進行聚類
np.random.seed(42)
data = np.random.rand(300, 2)  # 生成300個二維資料點

k = 3  # 聚類數量
centroids, cluster_labels = kmeans(data, k)

print("質心:\n", centroids)
print("簇標籤:\n", cluster_labels)

請注意，這是一個簡化的實現，僅用於演示 K-means 算法的基本原理。在實際應用中，建議使用成熟的機器學習庫，如 scikit-learn，以獲得更穩定、高效的實現和額外的功能。

改進方法及變體#

針對 K-means 算法的局限性，有以下改進方法：

選擇合適的 K 值：可以嘗試不同的 K 值，通過輪廓係數（Silhouette Coefficient）、肘部法則（Elbow Method）等方法評估聚類效果，選擇最佳的 K 值。
優化初始質心選擇：使用 K-means++ 算法改進初始質心選擇，降低算法收斂到局部最優解的風險。
增量式 K-means：對於大規模資料集，可以採用增量式 K-means 算法進行分佈式計算，提高計算效率。
引入核函數：將 K-means 算法擴展為 Kernel K-means 算法，使用核函數將資料映射到高維空間，處理非線性可分的資料。

K-means++#

K-means++ 是一種改進的 K-means 算法，主要針對初始質心選擇的問題。K-means++ 的優勢在於能夠選擇更好的初始質心，從而提高算法的收斂速度，降低陷入局部最優解的風險。K-means++ 的初始質心選擇步驟如下：

從資料集中隨機選擇一個點作為第一個質心。
對於資料集中的每個點，計算它與當前已選擇質心的最近距離。
以距離的平方作為權重，按照概率分佈隨機選擇下一個質心。
重複步驟 2 和 3，直到選擇了 K 個質心。
使用選定的初始質心運行 K-means 算法。

增量式 K-means#

增量式 K-means（Incremental K-means）也稱為在線 K-means，是針對大規模資料集的一種改進算法。與傳統的 K-means 算法不同，增量式 K-means 每次只處理一個資料點，不斷更新質心，而不是一次性處理整個資料集。這種方法適用於分佈式計算和大規模資料集，可以大大提高計算效率。增量式 K-means 的主要步驟如下：

初始化 K 個質心。
遍歷資料集，對每個資料點執行以下操作：
- 計算該點與當前質心的最近距離，將其分配到最近的簇。
- 更新被分配到的簇的質心。
重複步驟 2，直到質心穩定或達到迭代次數上限。

Kernel K-means#

Kernel K-means 是一種基於核方法的 K-means 算法，可以處理非線性可分的資料。核方法通過將資料映射到高維特徵空間，使得原本在低維空間中不可分的資料在高維空間中變得線性可分。Kernel K-means 的主要步驟如下：

選擇合適的核函數（如 RBF 核、多項式核等）和參數。
將資料集映射到高維特徵空間。
在高維特徵空間中執行 K-means 算法。
將聚類結果投影回原始資料空間。

Kernel K-means 可以處理複雜的資料結構，但計算複雜度相對較高，可能不適合大規模資料集。在實際應用中，可以根據問題的特點選擇合適的 K-means 算法變體。

應用場景#

K-means 算法廣泛應用於各個領域，如：

圖像分割：將圖像中的像素聚類為 K 個簇，可以實現圖像分割和簡化。
文件聚類：將文件按照內容相似度進行聚類，有助於文件分類、信息檢索和推薦系統。
客戶細分：將客戶按照購買行為、興趣愛好等特徵進行聚類，有助於企業針對不同群體制定個性化的營銷策略。
異常檢測：通過聚類，可以發現資料中的離群點或異常點，進而進行異常檢測或資料清洗。
降維：K-means 算法可以與主成分分析（PCA）等降維技術結合，實現資料降維和可視化。