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[Machine Learning] K-means算法詳解:原理、優缺點、程式碼實現、變體及實際應用

K-means 算法是一種非常流行的無監督學習方法,主要應用於聚類問題。本篇部落格將詳細介紹 K-means 算法的原理、優缺點及實際應用場景。

算法原理#

K-means 算法的核心思想是將資料劃分為 K 個獨立的簇 (cluster),使得每個簇內的資料點距離盡可能小,而簇與簇之間的距離盡可能大。下面是 K-means 算法的具體步驟:

  1. 初始化:選擇 K 個資料點作為初始質心(centroid),這些質心可以是隨機選擇的,也可以是通過其他方法選定的。

  2. 分配:將每個資料點分配到離它最近的質心所代表的簇中。

  3. 更新:重新計算每個簇的質心,方法是將簇內所有資料點的均值作為新的質心。

  4. 重複步驟 2 和 3,直到質心不再發生顯著變化或達到迭代次數上限。

優點#

K-means 算法具有以下優點:

  1. 簡單易懂:K-means 算法的步驟簡單,容易理解和實現。

  2. 計算效率高:K-means 算法的時間複雜度相對較低,適用於大規模資料集。

  3. 可擴展性強:K-means 算法可以通過各種改進和優化應用於不同類型的資料和問題。

缺點#

K-means 算法也存在一些局限性:

  1. 需要預先指定 K 值:在實際應用中,選定合適的 K 值可能需要嘗試多種方法。

  2. 對初始質心敏感:算法的結果可能受到初始質心選擇的影響,導致局部最優解。

  3. 對噪音和離群點敏感:K-means 算法容易受到噪音和離群點的影響,可能導致簇劃分不準確。

  4. 對簇形狀和大小敏感:K-means 算法假設簇是凸的和大小相似的,對於其他形狀和大小的簇可能效果不佳。

程式碼實現#

下面是使用 Python 和 NumPy 實現 K-means 算法的簡單示例:

import numpy as np

def initialize_centroids(data, k):
    # 從資料集中隨機選擇k個點作為初始質心
    centroids = data[np.random.choice(data.shape[0], k, replace=False)]
    return centroids

def assign_clusters(data, centroids):
    # 計算資料點與質心之間的距離,並將資料點分配給最近的質心
    distances = np.linalg.norm(data[:, np.newaxis] - centroids, axis=2)
    cluster_labels = np.argmin(distances, axis=1)
    return cluster_labels

def update_centroids(data, cluster_labels, k):
    # 計算每個簇的新質心,即簇內資料點的均值
    new_centroids = np.array([data[cluster_labels == i].mean(axis=0) for i in range(k)])
    return new_centroids

def kmeans(data, k, max_iterations=100, tol=1e-4):
    # 初始化質心
    centroids = initialize_centroids(data, k)
    
    for _ in range(max_iterations):
        # 分配簇
        cluster_labels = assign_clusters(data, centroids)
        
        # 更新質心
        new_centroids = update_centroids(data, cluster_labels, k)
        
        # 檢查收斂條件
        if np.linalg.norm(new_centroids - centroids) < tol:
            break
        
        centroids = new_centroids
    
    return centroids, cluster_labels

# 示例:使用K-means算法對隨機生成的資料進行聚類
np.random.seed(42)
data = np.random.rand(300, 2)  # 生成300個二維資料點

k = 3  # 聚類數量
centroids, cluster_labels = kmeans(data, k)

print("質心:\n", centroids)
print("簇標籤:\n", cluster_labels)

請注意,這是一個簡化的實現,僅用於演示 K-means 算法的基本原理。在實際應用中,建議使用成熟的機器學習庫,如 scikit-learn,以獲得更穩定、高效的實現和額外的功能。

改進方法及變體#

針對 K-means 算法的局限性,有以下改進方法:

  1. 選擇合適的 K 值:可以嘗試不同的 K 值,通過輪廓係數(Silhouette Coefficient)、肘部法則(Elbow Method)等方法評估聚類效果,選擇最佳的 K 值。

  2. 優化初始質心選擇:使用 K-means++ 算法改進初始質心選擇,降低算法收斂到局部最優解的風險。

  3. 增量式 K-means:對於大規模資料集,可以採用增量式 K-means 算法進行分佈式計算,提高計算效率。

  4. 引入核函數:將 K-means 算法擴展為 Kernel K-means 算法,使用核函數將資料映射到高維空間,處理非線性可分的資料。

K-means++#

K-means++ 是一種改進的 K-means 算法,主要針對初始質心選擇的問題。K-means++ 的優勢在於能夠選擇更好的初始質心,從而提高算法的收斂速度,降低陷入局部最優解的風險。K-means++ 的初始質心選擇步驟如下:

  1. 從資料集中隨機選擇一個點作為第一個質心。

  2. 對於資料集中的每個點,計算它與當前已選擇質心的最近距離。

  3. 以距離的平方作為權重,按照概率分佈隨機選擇下一個質心。

  4. 重複步驟 2 和 3,直到選擇了 K 個質心。

  5. 使用選定的初始質心運行 K-means 算法。

增量式 K-means#

增量式 K-means(Incremental K-means)也稱為在線 K-means,是針對大規模資料集的一種改進算法。與傳統的 K-means 算法不同,增量式 K-means 每次只處理一個資料點,不斷更新質心,而不是一次性處理整個資料集。這種方法適用於分佈式計算和大規模資料集,可以大大提高計算效率。增量式 K-means 的主要步驟如下:

  1. 初始化 K 個質心。

  2. 遍歷資料集,對每個資料點執行以下操作:

    • 計算該點與當前質心的最近距離,將其分配到最近的簇。

    • 更新被分配到的簇的質心。

  3. 重複步驟 2,直到質心穩定或達到迭代次數上限。

Kernel K-means#

Kernel K-means 是一種基於核方法的 K-means 算法,可以處理非線性可分的資料。核方法通過將資料映射到高維特徵空間,使得原本在低維空間中不可分的資料在高維空間中變得線性可分。Kernel K-means 的主要步驟如下:

  1. 選擇合適的核函數(如 RBF 核、多項式核等)和參數。

  2. 將資料集映射到高維特徵空間。

  3. 在高維特徵空間中執行 K-means 算法。

  4. 將聚類結果投影回原始資料空間。

Kernel K-means 可以處理複雜的資料結構,但計算複雜度相對較高,可能不適合大規模資料集。在實際應用中,可以根據問題的特點選擇合適的 K-means 算法變體。

應用場景#

K-means 算法廣泛應用於各個領域,如:

  1. 圖像分割:將圖像中的像素聚類為 K 個簇,可以實現圖像分割和簡化。

  2. 文件聚類:將文件按照內容相似度進行聚類,有助於文件分類、信息檢索和推薦系統。

  3. 客戶細分:將客戶按照購買行為、興趣愛好等特徵進行聚類,有助於企業針對不同群體制定個性化的營銷策略。

  4. 異常檢測:通過聚類,可以發現資料中的離群點或異常點,進而進行異常檢測或資料清洗。

  5. 降維:K-means 算法可以與主成分分析(PCA)等降維技術結合,實現資料降維和可視化。

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